9.5.2.

Plan de clase (1/2)

Escuela: ____________________________________________  Fecha: __________

Profesor: (a): ________________________________________________________

Curso: Matemáticas 9                                                          Eje temático: FE y M

Contenido: 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las figuras que se obtienen al hacer cortes rectos a un cilindro o a un cono.

Consigna: En forma individual, anota debajo de cada cilindro o cono el nombre de la figura que se obtiene al hacer el corte que se indica. Al terminar compara con tus compañeros tus anotaciones y si no coinciden traten de ponerse de acuerdo.

 Estos son algunos cortes que pueden hacerse en un cilindro:

     ___________              ____________            ____________               ___________

Algunos cortes que se pueden hacer al cono:

  ___________           ____________              ___________               ____________

Consideraciones previas:

La finalidad de realizar individualmente este trabajo es que todos los alumnos tengan la oportunidad de analizar los cortes y las figuras que resultan. Es probable que no todos identifiquen las mismas figuras y los mismos nombres, de manera que éste será un buen punto para discutir y obtener conclusiones.

Es deseable que los alumnos (por equipo) cuenten con los sólidos indicados, para que hagan los cortes y verifiquen lo que se ve en los dibujos. El cilindro y el cono pueden ser de unicel y adquirirse en papelerías o mercerías o bien hacerlos con plastilina o barro. Pueden utilizar para los cortes un cúter, teniendo en cuenta las medidas de seguridad pertinentes. Los cortes pueden ser verticales, horizontales o inclinados con respecto a la base o al eje de revolución.

Es importante que los alumnos obtengan una descripción clara de las figuras que se observan al realizar los cortes: rectángulos, círculos, elipses y parábolas y conviene cuestionar si son las únicas figuras que se pueden obtener.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil	Útil	Uso limitado	Pobre

Plan de clase (2/2)

Escuela: ____________________________________________  Fecha: __________

Profesor: (a): ________________________________________________________

Curso: Matemáticas 9                                                         Eje temático: FE y M

Contenido: 9.5.2 Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen la medida del radio del círculo que se obtiene al hacer un corte paralelo a la base de un cono. Que determinen la relación entre el radio y la altura del cono al realizar varios cortes.

Consigna: Organizados en equipos, realicen lo que se pide.

1.    El cono que aparece abajo mide 10 cm de altura y 2 cm de radio en la base. Si se hacen cortes paralelos a la base, ¿cuánto medirá el radio de cada círculo formado por los cortes por cada centímetro de altura? Completen la tabla.

h (altura del cono en cm)	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
r (radio de la base en cm)

  

2.    Tracen la gráfica que representa la relación entre las diferentes alturas del cono que se obtienen al hacer cortes paralelos a su base y el radio de los círculos que se forman.

3.    ¿Qué tipo de relación hay entre la altura y el radio? ______________________

___________________________________________________________________

Consideraciones previas:

Continuando con el trabajo del plan anterior, es importante que al inicio los alumnos verifiquen que efectivamente al realizar cortes paralelos a la base del cono se obtienen círculos de dimensiones cada vez menores.

Obtener el valor del radio cuando la altura mide 10 cm no tiene ningún problema, es un dato que viene en el texto del problema (2 cm), el asunto se vuelve interesante cuando intenten obtener un segundo valor para el radio, se sugiere dar un tiempo suficiente para que los alumnos averigüen distintas forma de llegar a él. Algunos posibles procedimientos son los siguientes:

• En primer lugar que adviertan que se forma un triángulo rectángulo con la altura del cono, el radio de la base y la generatriz. El radio mide 2 cm y la altura 10 cm.

Al disminuir la altura con un corte, por ejemplo a 9 cm, se forman 2 triángulos semejantes, ya que tienen sus tres ángulos iguales, por lo tanto sus lados son proporcionales y se puede establecer la siguiente igualdad para obtener la medida del nuevo radio.

  

            10      9                        de donde x = 1.8

            ---  =  ---                                                                

             2       x

Así, cuando la altura es de 9 cm, el radio mide 1.8 cm. De manera semejante pueden obtenerse las demás medidas de los radios.

• Otra herramienta que puede utilizarse son las razones trigonométricas, una vez identificado el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz. Con los valores del radio y la altura se obtiene el valor del ángulo formado por la generatriz y el radio (aproximadamente 79°). Al disminuir la altura, por ejemplo a 9 cm, se aplica la razón tangente para obtener el valor del nuevo radio (x).

 

                         9
          x   =   ----------                                              

                      tan 79°

Independientemente del proceso que utilicen, es probable que obtenidos dos o tres valores del radio, identifiquen el patrón del comportamiento y lo apliquen para encontrar los valores restantes (2, 1.8, 1.6, 1.4, …). Otra posibilidad es que adviertan que se trata de una relación de proporcionalidad entre la altura y el radio y como tal, apliquen algún procedimiento como la regla de tres o el valor unitario para calcular los valores faltantes. Lo anterior no es incorrecto, al contrario es deseable que vinculen la actividad con otros contenidos, así que, si esto ocurre, se sugiere pedirles que verifiquen algunos valores empleando otra herramienta, como la semejanza de triángulos o las razones trigonométricas. Si el profesor lo considera pertinente, para verificar las medidas de los radios resultantes, los alumnos pueden modelar con plastilina el cono, realizar los cortes y hacer las mediciones correspondientes.

En relación con la gráfica y la pregunta del punto 3 es importante que los alumnos adviertan que se trata de una relación de proporcionalidad entre la medida de la altura del cono y la medida del radio de la base, razón por la cual, la gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil	Útil	Uso limitado	Pobre